Modelagem Matemática#

O modelo adotado para resolver o problema de sedimentação de adensantes é baseado no modelo de D’Ávila1.

A principal característica deste modelo é a maneira que o sistema particulado é modelado, como um fluido hipotético. Dessa forma, a partícula sólida perde a sua individualidade e a suspensão, então, é considerada como um meio contínuo.

A origem do equacionamento para sistemas sólido-líquido se dá a partir do Teorema do Transporte de Reynolds.

Hipóteses#

Algumas hipóteses são adotadas para a simplificação do modelo matemático:

  1. Domínio Unidimensional \(\varphi (t)\)

  2. Mistura encontra-se inicialmente homogeinizada \(\varphi (t=0) = \varphi_0\)

  3. Meio isotrópico

Important

Apesar do modelo matemático adotar a hipótese de domínio unidimensional, o efeito da variação de seção transversal ainda pode ser incluido a partir de condições de salto. Consultar a seção Discretização espacial para mais informações.

Equacionamento#

O conjunto de equações que descrevem o problema é composto pelas regras de conservação de massa e de quantidade de movimento.

Aplicando o Teorema do Transporte de Reynolds para a propriedade volumétrica de concentração mássica, para a fase sólida, resulta em:

\[\frac{\partial \varphi_s}{\partial t} + \frac{\partial (\varphi_s v_s)}{\partial z} = 0\]

Onde \(\varphi_s\) é a concentração volumétrica da fase sólida, e \(v_s\) é a velocidade da fase sólida.

Para descrever o movimento das partículas, a expressão para a velocidade da fase sólida é derivada a partir da aplicação da equação de transporte para a propriedade de quantidade de movimento:

\[{\rho _s}{\varphi _s}\left[ {\frac{{\partial {v_s}}}{{\partial t}} + {v_s}\frac{{\partial {v_s}}}{{\partial z}}} \right] = \frac{{\partial {T_s}}}{{\partial z}} + m + {\varphi _s}\left( {{\rho _s} - {\rho _f}} \right)g\]

Entretanto é necessário adotar expressões para modelar a interação fluido-sólido \(m\) e a tensão nos sólidos \(T_s\). Essas expressões são caracterizadas como parte da Teoria Constitutiva do modelo de D’Ávila.

Note

Para mais detalhes, os modelos adotados estão descritos na seção Teoria Constitutiva.

Uma simplificação importante da Teoria Constitutiva, é a desconsideração dos termos de aceleração e transporte convectivo, para a fase sólida:

\[\frac{{\partial {v_s}}}{{\partial t}} + {v_s}\frac{{\partial {v_s}}}{{\partial z}} \cong 0\]

Conforme reiterado por Damasceno2, os termos são desprezíveis para escoamentos lentos em fluidos viscososos. Assim, a equação de transporte de quantidade de movimento, pode ser simplificada para:

\[\frac{{\partial {T_s}}}{{\partial z}} + m + {\varphi _s}\left( {{\rho _s} - {\rho _f}} \right)g = 0\]
1

João Sampaio D’Ávila. Um modelo matemático para a sedimentação. PhD thesis, Universidade Federal do Rio de Janeiro., 1978.

2

JJR Damasceno. Uma contribuição ao estudo do espessamento contínuo. Doutorado (Tese). Rio de Janeiro, 1992.