Teoria Constitutiva#

A Teoria Constitutiva define de que forma será incorporada a tensão nos sólidos, que caracteriza a interação sólido-sólido, e a forma da força resistiva, que caracteriza a interação fluido-sólido.

Tensão nos sólidos#

Partindo da hipótese básica de que a suspensão é um meio isotrópico, D’AVILA and SAMPAIO1 indicaram uma representação para o tensor tensão, com as seguintes considerações:

  • O tensor possui apenas componentes normais (pressão estática) à superfície de contato entre as partículas, dependendo da porosidade do meio.

  • O componente da tensão extra depende apenas da concentração da mistura, idêntica a porosidade do meio

Assim o tensor de tensão nos sólidos é escrito como:

\[T_s = T_s (\varphi _s) = -P_s (\varphi _s) I\]

Ainda é preciso de uma equação para descrever a pressão nos sólidos em função da porosidade do meio.

Pressão nos sólidos#

A equação utilizada nas zonas de sedimentação onde a interação sólido-sólido é significativa, é uma reparametrização proposta por Rocha et al.2:

\[{P_s} = {P_{ref}}\exp \left[ { - \beta \left( {\frac{1}{{{\varphi _s}}} - \frac{1}{{{\varphi _{ref}}}}} \right)} \right]\]

Onde \(P_{ref}\) e \(\beta\) são parâmetros da teoria constitutiva da pressão nos sólidos, e \(\varphi _{ref}\) é a concentração de referência.

Dessa forma, o tensor de tensão nos sólidos pode ser derivado usando a regra da cadeia:

\[\frac{\partial T_s (\varphi_s)}{\partial z} = - \frac{d P_s (\varphi_s)}{\varphi_s} \frac{\partial \varphi_s}{\partial z}\]
\[\frac{d P_s (\varphi_s)}{\varphi_s} = \frac{P_{ref} \beta}{\varphi_s ^ 2} \exp \left[-\beta \left(\frac{1}{\varphi_s} - \frac{1}{\varphi_{ref}} \right) \right]\]

Força Resistiva#

Com base no modelo de interação sólido-líquido de SILVA TELLES and Massarani3, a força resistiva entre as fases é função da viscosidade aparente da suspensão \(\eta_{susp}\), da permeabiliade do meio \(K\), e da velocidade da fase sólida \(v_s\), na forma de:

\[m = - \frac{\eta_{susp} v_s}{K}\]

Rocha et al.2 propuseram uma forma para a força resistiva, combinado com o conceito de viscosidade global de uma mistura de Bürger4, com base na taxa de cisalhamento característica e tensão cisalhante:

\[m = - \frac{1}{K}{\left( {\frac{{\tau \left( {{{\dot \gamma }_c}} \right)}}{{{{\dot \gamma }_c}}}} \right)_{susp}}\left( {1 - \frac{{{\rho _s}{\varphi _{s0}}}}{{{\rho _{susp}}}}} \right) v_s\]

Note

Esse modelo é dependente de uma expressão para calcular a permeabilidade do meio poroso, e da tensão viscosa.

Permeabilidade#

A permeabilidade do meio poroso, é calculada através da equação modificada de Tiller5, proposta por Rocha et al.2:

\[K\left( {{\varphi _s}} \right) = {k_0}d_p^2{\left( {\frac{{{\varphi _{\max }}}}{{{\varphi _s}}} - 1} \right)^\Lambda }\]

Tensão Viscosa#

Para completar a teoria constitutiva, é necessário caracterizar o modelo reológico do fluido através dos termos de tensão viscosa e taxa de cisalhamento característica, que representam a viscosidade aparente da suspensão.

Uma forma para calcular a viscosidade aparente, é baseada em dois aspectos:

  • O primeiro é a definição da taxa de cisalhamento característica para fluidos não-Newtonianos, conforme SILVA TELLES and Massarani3.

  • O segundo, é a adoção do modelo reológico.

A expressão para a taxa de cisalhamento característica, considera a esfericidade da partícula da fase sólida, de tal forma que possa ser escrita como:

\[{\dot \gamma }_c = \frac{v_s}{(1 - \varphi_s)} \frac{f(\phi)}{d_p}\]

Onde a função de esfericidade \(f(\phi)\), definida por Laruccia6, tem a seguinte forma:

\[f(\phi) = -3.45 \phi ^ 2 + 5.25 \phi - 1.41\]

Para determinar a tensão viscosa, deve ser adotado um modelo reológico que melhor represente o comportamento da suspensão.

Note

Para mais informações sobre a definição de um modelo reológico, consultar a seção Reologia.

1

JS D’AVILA and R SAMPAIO. Equações de estado para a pressão no sólido. Congresso Brasileiro de Engenharia Química, 1977.

2(1,2,3)

Robson R Rocha, Bruno F Oechsler, Luiz AC Meleiro, Flávia M Fagundes, Fabio O Arouca, João JR Damasceno, Claudia M Scheid, and Luis A Calcada. Settling of weighting agents in non-newtonian fluids to off-shore drilling wells: modeling, parameter estimation and analysis of constitutive equations. Journal of Petroleum Science and Engineering, 184:106535, 2020.

3(1,2)

A SILVA TELLES and G Massarani. Escoamento de fluidos não-newtonianos em sistemas particulados. Revista Brasileira de Física, 9(2):535–550, 1979.

4

RAIMUND Bürger. Phenomenological foundation and mathematical theory of sedimentation–consolidation processes. Chemical Engineering Journal, 80(1-3):177–188, 2000.

5

FM Tiller. Basic data fitting in filtration. J. Chin. I. Chem. Engrs., 11:61–67, 1980.

6

Moacyr Bartholomeu Laruccia. Velocidade de sedimentação em fluidos não-newtonianos: efeito da forma e da concentração de partículas. PhD thesis, [sn], 1990.