Parâmetros Numéricos#

Para simular utilizando o modelo baseado na Teoria das Misturas da Mecânica do Contínuo, é necessário definir alguns parâmetros de simulação. Estes parâmetros podem ser dividios em parâmetros de discretização, e parâmetros da Teoria Constitutiva.

Os parâmetros de discretização, dizem respeito ao tamanho do elemento de malha espacial, e ao tamanho do passo de tempo adotado.

Já os parâmetros da Teoria Constitutiva, dizem respeito aos parâmetros das equações da Teoria Constitutiva, que serão abordados posteriormente.

Estabilidade#

Como qualquer método de solução discreto, assim como é o método dos volumes finitos, a qualidade e precisão dos resultados é extremamente dependente dos parâmetros de simulação, como resolução da malha espacial \(\Delta z\), e tamanho do passo de tempo \(\Delta t\).

A condição de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) é um parâmetros que indica a estabilidade da simulação, e é definido com a razão entre o deslocamento de uma partícula em um passo de tempo pelo tamanho do elemento espacial:

\[CFL = \frac{v_s \Delta t} {\Delta z}\]

Para atingir o critério de estabilidade, esse coeficiente deve ser menor que 1, de modo que garanta que nenhuma partícula salte um elemento de malha em dado passo de tempo.

Parâmetros da Teoria Constitutiva#

Para cada equação da Teoria Constitutiva, existem alguns parâmetros numéricos que devem ser estimados com base em resultados experimentais.

Pressão nos Sólidos#

A equação que descreve o gradiente de pressão em relação a concentração de sólidos, é a que segue:

\[\frac{d P_s (\varphi_s)}{\varphi_s} = \frac{P_{ref} \beta}{\varphi_s ^ 2} \exp \left[-\beta \left(\frac{1}{\varphi_s} - \frac{1}{\varphi_{ref}} \right) \right]\]

Os parâmetros \(P_{ref}\), \(\varphi_{ref}\), \(\beta\) devem ser estimados numericamente com base nos perfis de concentração experimentais.

Permeabilidade#

A equação que descreve a permeabilidade do sedimento, é a que segue:

\[K\left( {{\varphi _s}} \right) = {k_0}d_p^2{\left( {\frac{{{\varphi _{\max }}}}{{{\varphi _s}}} - 1} \right)^\Lambda }\]

Os parâmetros \(k_0\) e \(\Lambda\) devem ser estimados numericamente com base nos perfis de concentração experimentais.

Modelo de Estimação de Parâmetros#

A dependência destes parâmetros é uma característica inerente do modelo. Existem várias formas de estimar esses parâmetros, utilizando de algoritmos de otimização.

Devido a sua simplicidade, o algoritmo de otimização escolhido foi o Particle Swarm Optimization (PSO). O PSO é um algoritmo de otimização inspirado no comportamento coletivo de animais. Ele é utilizado para resolver problemas de otimização contínuos e discretos, explorando o espaço de busca por meio da interação de partículas que se movem influenciadas por suas próprias melhores posições (experiência individual) e pela melhor posição do enxame (experiência coletiva).

O PSO começa com a inicialização de um conjunto de partículas, onde cada partícula representa uma solução candidata no espaço de busca. Cada partícula possui uma posição e uma velocidade. As partículas ajustam suas posições em cada iteração, levando em conta:

  • A melhor posição já encontrada por si mesma (pbest)

  • A melhor posição já encontrada por qualquer partícula do enxame (gbest)

A atualização da velocidade de cada partícula é dada pela fórmula:

\[v_i(t+1) = w . v_i(t) + c_1 . r_1 . (pbest_i - x_i(t)) + c_2 . r_2 . (gbest - x_i(t))\]

Onde:

  • \(v_i(t)\) é a velocidade da partícula i na iteração t,

  • \(w\) é o fator de inércia, que controla a contribuição da velocidade anterior,

  • \(c_1\) e \(c_2\) são os coeficientes de aceleração que ponderam a atração da partícula por suas próprias melhores posições e pela melhor posição global, respectivamente,

  • \(r_1\) e \(r_2\) são números aleatórios uniformemente distribuídos entre 0 e 1,

  • \(pbest_i\) é a melhor posição encontrada pela partícula i, \(gbest\) é a melhor posição global encontrada por todo o enxame,

  • \(x_i(t)\) é a posição atual da partícula i na iteração t.

A posição da partícula é então atualizada utilizando a nova velocidade calculada:

\[x_i(t+1) = x_i(t) + v_i(t + 1)\]

Definição da Função Objetivo#

A função objetivo é uma função matemática que associa um valor numérico a cada ponto do espaço de busca. Este valor representa a qualidade da solução naquele ponto, e o PSO procura a solução que minimiza esse valor.

No caso da sedimentação, o espaço de busca \(P_{ref}\), consiste nos parâmetros numéricos \(P_{ref}\), \(\beta\), \(\Lambda\) e \(k_0\). Embora seja possível considerar algum outro parâmetro do modelo como parâmetro livre, por exemplo adicionar a variável \(\varphi_{ref}\) ao espaço de busca, a modo de otimizar seu valor.

A forma da função objetivo é a seguinte:

\[F_{obj} = \sum_{i=1}^{N_E} \sum_{j=1}^{N_P} \sqrt{\frac{(y_{ij}^e - y_{ij}^s(x_j^s, \theta)) ^ 2}{N_P (y_{ij}^e)^2}}\]

Onde \(N_E\) e \(N_P\) são o número de experimentos, ou sensores, e o número de pontos discretos, respectivamente, o sobrescrito \(e\) indica valores experimentais e \(s\) indica valores simulados, \(x_j^s\) são as variáveis de entrada para determinar os valores simulados e \(\theta\) é o espaço de busca de parâmetros a serem estimados.